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I solidi di rotazione: cilindro, cono, sfera

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Maggio
🔙 Ricordi dalla secondaCirconferenza e cerchio.
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: geometria solida e analitica.
Matematica 3ª · I solidi di rotazione: cilindro, cono, sferaLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Solidi di rotazione

Generati dalla rotazione completa di una figura piana attorno a un asse. Le sezioni perpendicolari all’asse sono cerchi. Oltre a cilindro, cono e sfera esistono solidi composti (es. un cilindro con due coni ai lati, ottenuto ruotando un trapezio).

Il cilindro

Generato da un rettangolo che ruota attorno a un lato (l’altezza). Equilatero se h = 2r (la sezione assiale è un quadrato). Sviluppo: rettangolo 2πr × h + due cerchi. S_l = 2πrh; S_t = 2πr(h + r); V = πr²h. Formule inverse: h = V/(πr²), r = √(V/(πh)).

Il cono

Generato da un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto (h); l’altro cateto è r, l’ipotenusa è l’apotema a = √(r² + h²). Equilatero se a = 2r (sezione assiale triangolo equilatero). Lo sviluppo laterale è un settore circolare di raggio a e arco 2πr. S_l = πra; S_t = πr(a + r); V = πr²h/3.

La sfera

Generata da un semicerchio che ruota attorno al diametro. Il piano che passa per il centro la taglia secondo un cerchio massimo. S = 4πr² (quattro volte il cerchio massimo, come dimostrò Archimede); V = 4/3·πr³. Archimede scoprì anche che la sfera ha i 2/3 del volume del cilindro circoscritto (fece incidere questa figura sulla sua tomba).

Problemi e applicazioni

Contenitori (lattine, serbatoi, silos), pezzi meccanici, gelati, palloni, pianeti. Esempi: quanti litri contiene un serbatoio cilindrico di r = 0,5 m e h = 2 m? V = π·0,25·2 ≈ 1,57 m³ = 1570 L. Peso di una sfera di ferro di r = 3 cm: V = 36π ≈ 113 cm³; peso ≈ 113 × 7,8 ≈ 882 g.
Rapporti utili: a parità di base e altezza, cono : cilindro = 1 : 3; sfera : cilindro circoscritto = 2 : 3. Raddoppiando il raggio di una sfera la superficie quadruplica e il volume diventa 8 volte (rapporto tra solidi simili: k² per le aree, k³ per i volumi).

Verso l’esame

Nei problemi d’esame si combinano solidi (es. un prisma con un foro cilindrico, un solido ottenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo): si scompone, si usano Pitagora e le formule dirette e inverse, si lascia π indicato quando richiesto.
Formulario dei solidi rotondi
SolidoSuperficieVolume
🥫 CilindroS_l = 2πr × h; S_t = S_l + 2πr²πr² × h
🍦 ConoS_l = πr × a; S_t = S_l + πr²πr² × h : 3
⚽ Sfera4πr²4/3 πr³
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Mappa

Quale figura piana ho fatto girare?

I solidi di rotazione
  1. solido
    Il cilindro
    • esempiolattina
    • basi2 cerchi
    • nasceda un rettangolo che gira
    • volumeπ × r² × h
  2. solido
    Il cono
    • esempiogelato
    • base1 cerchio
    • nasceda un triangolo rettangolo che gira
    • volumeπ × r² × h : 3
  3. solido
    La sfera
    • esempiopallone
    • basinessuna
    • nasceda un semicerchio che gira
    • volume4/3 × π × r³

Il cono è un terzo del cilindro con la stessa base e la stessa altezza.

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Parole importanti

SEZIONE ASSIALEtaglio del solido con un piano che contiene l’asse
CILINDRO EQUILATEROaltezza uguale al diametro
CONO EQUILATEROapotema uguale al diametro
CERCHIO MASSIMOsezione della sfera passante per il centro
ARCHIMEDEscoprì le formule della sfera
RAPPORTO DI SIMILITUDINEk² per le aree, k³ per i volumi
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Solidi di rotazione: generati dalla rotazione completa di una figura piana attorno a un asse.
  2. Il cilindro: generato da un rettangolo che ruota attorno a un lato (l’altezza).
  3. Il cono: generato da un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto (h); l’altro cateto è r, l’ipotenusa è l’apotema a = √(r² + h²).
  4. La sfera: generata da un semicerchio che ruota attorno al diametro.
  5. Problemi e applicazioni: contenitori (lattine, serbatoi, silos), pezzi meccanici, gelati, palloni, pianeti.
  6. Rapporti utili: a parità di base e altezza, cono : cilindro = 1 : 3; sfera : cilindro circoscritto = 2 : 3.
  7. Verso l’esame: nei problemi d’esame si combinano solidi (es. un prisma con un foro cilindrico, un solido ottenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo): si scompone, si usano Pitagora e le formule dirette e inverse, si lascia π indicato quando richiesto.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: settore · 2r · circoscritto · 8
Nel cilindro equilatero h = ______.
Lo sviluppo laterale del cono è un ______ circolare.
Raddoppiando il raggio il volume diventa ______ volte.
La sfera ha i 2/3 del volume del cilindro ______.

3Scegli la risposta giusta.

Un cono ha r = 6 cm e h = 8 cm. L’apotema è…

4Vero o falso?

La superficie della sfera è quattro volte il cerchio massimo.

5Rispondi con parole tue.

Calcola superficie totale e volume del solido ottenuto ruotando un triangolo rettangolo di cateti 9 cm e 12 cm attorno al cateto maggiore.

6Leggi il significato e scrivi la parola giusta.

taglio del solido con un piano che contiene l’asse

Inizia con «S» · 14 lettere
Ripassa giocandoAstro-quiz, memory, vero o falso, cerca le parole e altri giochi su questo argomento.
Com’è andata?
Matematica 3ª · I solidi di rotazione: cilindro, cono, sferaSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. ✂️ SEZIONE ASSIALE → taglio del solido con un piano che contiene l’asse; 🥫 CILINDRO EQUILATERO → altezza uguale al diametro; 🍦 CONO EQUILATERO → apotema uguale al diametro; ⚽ CERCHIO MASSIMO → sezione della sfera passante per il centro; 🏛️ ARCHIMEDE → scoprì le formule della sfera; 📐 RAPPORTO DI SIMILITUDINE → k² per le aree, k³ per i volumi
  2. 2r – settore – 8 – circoscritto
  3. 10 cm
  4. VERO
  5. Risposta libera.
  6. SEZIONE ASSIALE

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